Μη με ρωτάτε για τον τίτλο. Αυτός μου είχε καρφωθεί εδώ και μερικές μέρες, αυτόν έβαλα. Τέλος. Στα δύο προηγούμενα κείμενα κάναμε μια εισαγωγή και μιλήσαμε για τα περίεργα σημεία, την αστάθεια που παρουσιάζουν και πως αυτή προκαλεί αυτό το μπάχαλο. Μπορεί βέβαια να μιλήσαμε και για άλλα πράγματα αλλά βαριέμαι να διαβάζω αυτά που έγραφα. Η ιστορία είναι κατά βάση πολύ απλή: Η θεωρία του Χάους έρχεται να προσθέσει το λιθαράκι τις και να παίξει το δικό της ρόλο στην αέναη τιτανομαχία μεταξύ Τυχαιότητας και Αιτιοκρατίας.
Από το στρίψιμο ενός νομίσματος μέχρι τη μοίρα και το νόημα της Ύπαρξης το ερώτημα αυτό βρίσκεται παντού και μας τιτιβίζει το κεφάλι ως άλλος Woody ο Τρυποκάριδος.
Αλλά ας τα πάρουμε τα πράγματα από την αρχή....
Όλοι γνωρίζουμε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν ποτέ σε µία ευθεία γραμμή. Η τροχιά της γης και των άλλων ουρανίων σωμάτων στο στερέωμα δεν είναι ποτέ ευθύγραμμη (ευτυχώς!).
Σκεφτήκαμε ποτέ ότι αν η θερμική μεταβολή ενός μετάλλου ήταν πάντα γραμμική, αυτό θα διαστελλόταν για πάντα µε τον ίδιο τρόπο χωρίς να λιώνει, ενώ ένα γραμμικό ελατήριο θα μπορούσε να τεντωθεί απεριόριστα χωρίς να σπάσει; (!).
Από την άλλη μεριά, αν κοιτάξουμε µε προσοχή γύρω µας θα δούμε ότι τα βουνά δεν είναι κώνοι, τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες και οι κορμοί των δέντρων δεν είναι κύλινδροι.
Με λίγα λόγια η φύση που µας περιβάλλει είναι γεμάτη από πολύπλοκα σχήματα που όταν κινούνται ακολουθούν κατά κανόνα µη γραμμικές διαδρομές. Και όμως, μέχρι και την Γ΄ Λυκείου ακόμα, τα βιβλία της Φυσικής µας μιλούν κυρίως για γραμμικά φαινόμενα, στην Άλγεβρα μαθαίνουμε να λύνουμε σχεδόν αποκλειστικά γραμμικές εξισώσεις, ενώ στην Γεωμετρία τα πιο πολύπλοκα σχήματα που συναντάμε είναι οι κωνικές τομές, οι κύλινδροι, οι κώνοι και οι σφαίρες, ενώ ο χώρος στον οποίο εργαζόμαστε έχει πάντα ακέραιο αριθμό διαστάσεων (0, 1, 2 ή 3).
Γιατί συμβαίνει αυτό;
Ο λόγος είναι απλός: Η πολυπλοκότητα της φύσης και η μαθηματική της περιγραφή, η µη γραμμικότητα, αποτελούσαν μέχρι πρόσφατα πολύ δύσκολα προβλήματα που όλες οι αναλυτικές τεχνικές και μεθοδολογίες που είχαμε αναπτύξει αδυνατούσαν να επιλύσουν.
Στα προηγούμενα δύο κείμενα, εδώ και εδώ, προσπάθησα να δώσω μια εικόνα της χαοτικής κίνησης. Στο τρίτο και τελευταίο αυτό κείμενο θα προσπαθήσω να δώσω την ιδέα της γεωμετρίας της πολυπλοκότητας.
Γι αυτό θα πάμε λαϊκή και θα αγοράσουμε ένα κουνουπίδι!
Από το στρίψιμο ενός νομίσματος μέχρι τη μοίρα και το νόημα της Ύπαρξης το ερώτημα αυτό βρίσκεται παντού και μας τιτιβίζει το κεφάλι ως άλλος Woody ο Τρυποκάριδος.
Αλλά ας τα πάρουμε τα πράγματα από την αρχή....
Όλοι γνωρίζουμε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν ποτέ σε µία ευθεία γραμμή. Η τροχιά της γης και των άλλων ουρανίων σωμάτων στο στερέωμα δεν είναι ποτέ ευθύγραμμη (ευτυχώς!).
Σκεφτήκαμε ποτέ ότι αν η θερμική μεταβολή ενός μετάλλου ήταν πάντα γραμμική, αυτό θα διαστελλόταν για πάντα µε τον ίδιο τρόπο χωρίς να λιώνει, ενώ ένα γραμμικό ελατήριο θα μπορούσε να τεντωθεί απεριόριστα χωρίς να σπάσει; (!).
Από την άλλη μεριά, αν κοιτάξουμε µε προσοχή γύρω µας θα δούμε ότι τα βουνά δεν είναι κώνοι, τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες και οι κορμοί των δέντρων δεν είναι κύλινδροι.
Με λίγα λόγια η φύση που µας περιβάλλει είναι γεμάτη από πολύπλοκα σχήματα που όταν κινούνται ακολουθούν κατά κανόνα µη γραμμικές διαδρομές. Και όμως, μέχρι και την Γ΄ Λυκείου ακόμα, τα βιβλία της Φυσικής µας μιλούν κυρίως για γραμμικά φαινόμενα, στην Άλγεβρα μαθαίνουμε να λύνουμε σχεδόν αποκλειστικά γραμμικές εξισώσεις, ενώ στην Γεωμετρία τα πιο πολύπλοκα σχήματα που συναντάμε είναι οι κωνικές τομές, οι κύλινδροι, οι κώνοι και οι σφαίρες, ενώ ο χώρος στον οποίο εργαζόμαστε έχει πάντα ακέραιο αριθμό διαστάσεων (0, 1, 2 ή 3).
Γιατί συμβαίνει αυτό;
Ο λόγος είναι απλός: Η πολυπλοκότητα της φύσης και η μαθηματική της περιγραφή, η µη γραμμικότητα, αποτελούσαν μέχρι πρόσφατα πολύ δύσκολα προβλήματα που όλες οι αναλυτικές τεχνικές και μεθοδολογίες που είχαμε αναπτύξει αδυνατούσαν να επιλύσουν.
Στα προηγούμενα δύο κείμενα, εδώ και εδώ, προσπάθησα να δώσω μια εικόνα της χαοτικής κίνησης. Στο τρίτο και τελευταίο αυτό κείμενο θα προσπαθήσω να δώσω την ιδέα της γεωμετρίας της πολυπλοκότητας.
Γι αυτό θα πάμε λαϊκή και θα αγοράσουμε ένα κουνουπίδι!
Θα το πάμε σπίτι και αφού το πλύνουμε καλά - καλά θα του βγάλουμε την πρασινάδα και θα το βάλουμε στο μικροσκόπιο που έχουμε πρόχειρο δίπλα στον αποχυμωτή. Θα παρατηρήσουμε εικόνες όπως την παραπάνω. Η επιφάνεια του θρεπτικού κουνουπιδιού δε φαίνεται περισσότερο λεία ή έστω πιο απλή...Φαίνεται ίδια, ολόιδια με αυτήν την επιφάνεια που είδαμε στον πάγκο του μανάβη....
Η πρώτη σοβαρή σκέψη που θα κάνουμε είναι πως κάτι τέτοιο δεν το περιμέναμε από το αθώο και καλοκάγαθο κουνουπίδι. Η αμέσως επόμενη, πιο σοβαρή σκέψη, είναι πως τώρα αντιλαμβανόμαστε γιατί κανείς μας δεν το θυμάται στη Φρουτοπία και φυσικά γιατί ο μανάβης μας το έκατσε τόσο ακριβά.
Μετά από μερικά λεπτά, θα αρχίσουμε να σκεφτόμαστε δευτερεύοντα πράγματα όπως το γιατί η επιφάνεια μιας πολύ πολύ πολύ μικρής περιοχής του κουνουπιδίου έχει την ίδια μορφολογία με το όλον κουνουπίδι. Τι είναι αυτή η αυτο-ομοιότητα και πως προκύπτει, λοιπόν ;
Πάρτε χαρτί και μολύβι....
Η πρώτη σοβαρή σκέψη που θα κάνουμε είναι πως κάτι τέτοιο δεν το περιμέναμε από το αθώο και καλοκάγαθο κουνουπίδι. Η αμέσως επόμενη, πιο σοβαρή σκέψη, είναι πως τώρα αντιλαμβανόμαστε γιατί κανείς μας δεν το θυμάται στη Φρουτοπία και φυσικά γιατί ο μανάβης μας το έκατσε τόσο ακριβά.
Μετά από μερικά λεπτά, θα αρχίσουμε να σκεφτόμαστε δευτερεύοντα πράγματα όπως το γιατί η επιφάνεια μιας πολύ πολύ πολύ μικρής περιοχής του κουνουπιδίου έχει την ίδια μορφολογία με το όλον κουνουπίδι. Τι είναι αυτή η αυτο-ομοιότητα και πως προκύπτει, λοιπόν ;
Πάρτε χαρτί και μολύβι....
Αυτή η πολύ απλή επαναλαμβανόμενη διαδικασία που είναι σε όλους μας κατανοητή εξελίσσεται πολύ γρήγορα σε ένα σχήμα ιδιαίτερα πολύπλοκο. Μετά από άπειρα βήματα θα έχουμε φτιάξει κάτι του οποίου η πολυπλοκότητά δεν μειώνεται όσο μεγεθύνουμε πάνω του. Η βασική του διάταξη θα εμφανίζεται διαρκώς. καθώς εμείς, ανυποψίαστοι, θα ζουμάρουμε. 
Αυτή είναι η καμπύλη του Koch που αν την ξεκινήσουμε από τρίγωνο ονομάζεται νιφάδα και μοιάζει πολύ με τις φυσικές νιφάδες χιονιού:
Αυτό το σχήμα που λετε έχει εξαιρετικά χαρακτηριστικά, πολλά από τα οποία «ακούγονται» παράδοξα. Για παράδειγμα ενώ το εμβαδόν μιας νιφάδας είναι πεπερασμένο, η περίμετρός της έχει άπειρο μήκος! Από την άλλη ενώ αυτή η περίμετρος θα περίμενε να είναι μια τεθλασμένη γραμμή και άρα να έχει διάσταση 1 όπως όλες οι καθώς πρέπει γραμμές, η διάσταση αυτής της γραμμής είναι 1,26. Δεν είναι δηλαδή ούτε γραμμή όπως αυτές που ξέρουμε, ούτε επίπεδο όπως αυτά που ξέρουμε. Είναι κάτι ενδιάμεσο!
Το σχήμα αυτό είναι ένα fractal. Η λέξη προέρχεται από τα λατινικά και είναι ζεύξη των λέξεων fractus fangere που θα πει κάτι σπασμένο αν δεν κάνω λάθος. Ονομάστηκε έτσι τη δεκαετία του ’80 από τον κύριο στη διπλανή φωτογραφία. Ονομάζεται Benoit Mandelbrot και δεν είναι μακρινός ξάδερφος του Λεοτσάκου από το Ερωτοδικείο. Με την πρωτοποριακή θεωρία του για τη γεωμετρία του φυσικού κόσμου, ο φίλος μου ο Benoit αναδεικνύει κατά βάση αυτό το από αιώνες γνωστό χαρακτηριστικό της αυτοομοιότητας. Επίσης υποστηρίζει κάτι το εξαιρετικό. Ό,τι πολύ πολύ απλές μη γραμμικές διαδικασίες κρύβουν μέσα τους άπειρη πολυπλοκότητα. Το πιο γνωστό παράδειγμά του είναι ο αναδρομικός τύποςz(n+1)=z(n)*z(n)+c
όπου με κατάλληλες τιμές δημιουργεί το περίφημο σύνολο Mandelbrot (εικόνα (a)): Κάθε επόμενη εικόνα είναι μεγέθυνση της προηγούμενης έτσι ώστε να γίνει αντιληπτό το πόσο πολύπλοκα σχήματα μπορεί να δημιουργήσει αυτός ο κατά τα άλλα αθώος και μαθηματικός τύπος.
Η διαδικασία της κατασκευής αυτο-όμοιων σχημάτων είναι πραγματικά απλή. Αφού κάναμε μια εισαγωγή με την καμπύλη του Koch ας δούμε παρακάτω τη γεωμετρική παράσταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος και την επαναλαμβανόμενη ανακατασκευή του.
Αν πάλι ξεκινήσουμε από μη ισοσκελή τρίγωνα:
Αυτοί οι εκπληκτικοί Πυθαγόρειοι ψυχεδελικοί σχηματισμοί μας θυμίζουν κάτι...μα κάτι ρε παιδί μου που δε μπορούμε και πολύ να προσδιορίσουμε αλλά μας αρέσει πολύ. Μας θυμίζουν τη Φύση :
Ποια από τα παραπάνω είναι σχήματα της φύσης και ποια δικά μας; (αν δεν είχα λεζάντες δε θα βγάζατε άκρη).
Είμαστε λοιπόν πολύ κοντά στο να καταλάβουμε έναν βασικό μηχανισμό της φυσικής ανάπτυξης των πραγμάτων. Ένα μηχανισμός τόσο πολύπλοκος όσο και απλός. Το μεγαλύτερο μέρος αυτής της κατάκτησης το χρωστάμε φυσικά στην ανάπτυξη της Πληροφορικής. Χωρίς τους υπολογιστές τέτοια σχήματα δε θα φτιάχναμε ποτέ. Αυτό είναι εν μέρει σωστό. Στην πραγματικότητα όλοι μας κάποτε στη ζωή μας «υπήρξαμε fractals». Ε βέβαιααααα ! Γιατί μη μου πείτε πως όταν είσαστε μπόμπιρες και σας πηγαίνανε στον παιδίατρο ή σε παιδικά πάρτι δεν ευχόσαστε πάντα να μπείτε σε ασανσέρ που να έχει απέναντι καθρέφτες!!!! Έτσι χαζεύατε στη διαδρομή τη φάτσα σας στο άπειρο. Πάω στοίχημα πως γέρνατε κιόλας για να δείτε που στο διάβολο τελειώνει αυτή η φατσούλα που ή της έχει κάτσει σοκολάτα στα μάγουλα από το μεσημέρι ή τρέχει μία μύξα από το αριστερό ρουθούνι...(πάντα αργά και προφανώς μη γραμμικά).
Είμαστε λοιπόν πολύ κοντά στο να καταλάβουμε έναν βασικό μηχανισμό της φυσικής ανάπτυξης των πραγμάτων. Ένα μηχανισμός τόσο πολύπλοκος όσο και απλός. Το μεγαλύτερο μέρος αυτής της κατάκτησης το χρωστάμε φυσικά στην ανάπτυξη της Πληροφορικής. Χωρίς τους υπολογιστές τέτοια σχήματα δε θα φτιάχναμε ποτέ. Αυτό είναι εν μέρει σωστό. Στην πραγματικότητα όλοι μας κάποτε στη ζωή μας «υπήρξαμε fractals». Ε βέβαιααααα ! Γιατί μη μου πείτε πως όταν είσαστε μπόμπιρες και σας πηγαίνανε στον παιδίατρο ή σε παιδικά πάρτι δεν ευχόσαστε πάντα να μπείτε σε ασανσέρ που να έχει απέναντι καθρέφτες!!!! Έτσι χαζεύατε στη διαδρομή τη φάτσα σας στο άπειρο. Πάω στοίχημα πως γέρνατε κιόλας για να δείτε που στο διάβολο τελειώνει αυτή η φατσούλα που ή της έχει κάτσει σοκολάτα στα μάγουλα από το μεσημέρι ή τρέχει μία μύξα από το αριστερό ρουθούνι...(πάντα αργά και προφανώς μη γραμμικά).
Η εικόνα αυτή όσο και να γείρετε όσο και να τη μεγεθύνετε θα εμφανίζει τη φάτσα σας...Η απόσταση κάθε πλήρους επανεμφάνισης δείχνει ένα δείκτη διάστασης ο οποίος δεν είναι ακέραιος. Όμως οι απέναντι καθρέφτες, όπως η εικόνα μιας οικογένειας να βλέπει τηλεόραση, στην οποία μια άλλη οικογένεια βλέπει τηλεόραση κάποια άλλη οικογένεια να βλέπει τηλεόραση κλπ κλπ είναι κλασσικά σκηνικά που όλοι έχουμε κατά καιρούς φτιάξει στο μυαλό μας και αναρωτηθεί...που καταλήγουν τέλος πάντων !;;;!
Η αυτο-ομοιότητα υπάρχει παντού στο φυσικό μας κόσμο. Βγείτε έναν περίπατο σε ένα κήπο. Βρείτε δέντρα μεγάλα που να μην τα έχει χτυπήσει πολύ ο άνεμος. Παρατηρείστε τα από το βασικό τους κορμό μέχρι τα τελευταία παρακλάδια. Θα συνειδητοποιήσετε μάλλον ότι τα παρακλάδια αυτά είναι μινιατούρες του βασικού κορμού....
Μέσα σε αυτό το πανηγύρι η πρώτη σκέψη που κάνουμε είναι φυσικά πως τα fractal είναι έργα τέχνης....
Η αυτο-ομοιότητα υπάρχει παντού στο φυσικό μας κόσμο. Βγείτε έναν περίπατο σε ένα κήπο. Βρείτε δέντρα μεγάλα που να μην τα έχει χτυπήσει πολύ ο άνεμος. Παρατηρείστε τα από το βασικό τους κορμό μέχρι τα τελευταία παρακλάδια. Θα συνειδητοποιήσετε μάλλον ότι τα παρακλάδια αυτά είναι μινιατούρες του βασικού κορμού....
Μέσα σε αυτό το πανηγύρι η πρώτη σκέψη που κάνουμε είναι φυσικά πως τα fractal είναι έργα τέχνης....
Και ως έργα τέχνης θα έπρεπε να αντιμετωπίζονται. Εδώ θα θυμηθώ ένα πολύ ωραίο τσιτάτο του θείου Άλμπερτ: Η έννοια της πραγματικότητας είναι μια και μοναδική. Όποιος την αντιληφθεί σωστά και την εκφράσει μέσα από το μυαλό του, αυτό λέγεται Επιστήμη. Όποιος την αντιληφθεί σωστά και την εκφράσει μέσα από την καρδιά του αυτό λέγεται, Τέχνη.Πως τα λεει ο μπαγάσας....
Στα τρία αυτά κείμενα που φτάνουν στο τέλος τους προσπάθησα να περιγράψω κάτι με το οποίο ασχολούμαι αρκετά εδώ και ενάμιση χρόνο. Αυτό, λοιπόν, είναι πάνω κάτω το Χάος και η Γεωμετρία του. Μία θεωρία που συνδέει το τυχαίο με το αιτιατό, το ασταθές με το φραγμένο, το αεικίνητο με το αμετάβλητο και το σταθερό, το μηδέν με το άπειρο. Αυτή η επαναστατική εξέλιξη των θετικών επιστημών που περιγράφει τους νόμους που διέπουν οικίες διαδικασίες της καθημερινής μας ζωής: από τους χτύπους της καρδιάς και τη σκέψη ως το σχηματισμό των νεφών και των καταιγίδων, από τη σύνθεση ενός ποιήματος ως την εξάπλωσης μιας πυρκαγιάς στο δάσος, από τον έλεγχο της οδικής κυκλοφορίας και την τεχνητή νοημοσύνη ως το έμφραγμα και τη σχιζοφρένεια, από την ανάπτυξη ενός πληθυσμού εντόμων ως τις διακυμάνσεις του χρηματιστηρίου. Αυτή είναι η επιστήμη της ολότητας που απλώνεται παντού και δε διστάζει να συνδέσει τη γεωμετρία πλανητικών συστημάτων με αυτήν, ενός αντικειμένου της καθημερινής μας ζωής. Μιας απλής βρύσης που στάζει...
Τι μένει λοιπόν μετά από αυτή τη μάχη μεταξύ Aιτιοκρατίας και Tυχαίοτητας; Πόσο «τυχαίες» είναι τώρα διαδικασίες όπως οι χτύποι της καρδιάς; Μήπως υπάρχει μια εξίσωση που να τις καθορίζει; Μια εξίσωση που θα παράγει τροχιές (χτύποι της καρδιάς) χαοτικές που αν και δε θα μπορούμε να τις προβλέπουμε εν τούτοις δε θα είναι τυχαίοι όπως μέχρι τώρα νομίζαμε. Πόσο τυχαίος είναι ο κόσμος που ζούμε; Σίγουρα όλα δεν είναι μια απλή μη γραμμική εξίσωση και σίγουρα απέχουμε πολύ από την κατάκτηση της απόλυτης εξίσωσης έτσι όπως την οραματίστηκε ο Pierre Simon de Laplace. Απέχουμε πολύ από το να απαντήσουμε αν πράγματι ο «Ο Θεός παίζει ζάρια» όπως τονίζει, το ακροτελεύτιο κάστρο της τυχαιότητας, η Κβαντομηχανική Θεωρία. Απέχουμε πολύ κι ας γνωρίζουμε σήμερα πως τα ζάρια είναι ένα καθαρό φαινόμενο μεταβατικού χάους. Δε θα πω τίποτα παραπάνω...
Θα πω ΝΑ ΜΗ ΓΕΛΙΟΜΑΣΤΕ...Δεν υπάρχει πόλεμος...Δεν υπήρξε ποτέ! Οι επιστημονικές θεωρίες δεν είναι ανακαλύψεις των νόμων της φύσης αλλά μάλλον επινοήσεις του ανθρώπινου νου. Αν κάποιος θέλει να ονειρεύεται κάποια μάχη ας είναι αυτή για την κατάκτηση της γνώσης...ας είναι η μάχη της πορεία μας προς το Θεό.
Τα λέμε....
