Παρασκευή, Μαρτίου 4

105.6

Σήμερον στο μπλογκοσφαιρικό μας μπερντέ.

Η τραγική ιστορία της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης.
(Μέρος Α')

Η πέμπτου βαθμού εξίσωση, ως προς x, δίνεται από το γενικό τύπο

όπου τα a,b,c,d,e,f είναι γνωστοί αριθμοί (ο a διαφορετικός του μηδέν).

Ποιοι αριθμοί (x) ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση;

Ένα από τα πιο ακανθώδη αλγεβρικά προβλήματα της εποχής στα τέλη του 18ου αρχές του 19ου αι. ηταν το κατά πόσο το 5ο-βάθμιο πολυώνυμο ήταν επιλύσιμο με αλγεβρικές μεθόδους- δηλαδή έναν πεπερερασμένο αριθμό αλγεβρικών πράξεων. Στο σχολείο μαθαίνουμε σήμερα τον τύπο επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων και ήδη από τον 16ο αι. υπάρχουν παρόμοιες μέθοδοι για εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. Ωστόσο όλες οι προσπάθειες να βρεθεί μία ανάλογη μέθοδος για την εξίσωση 5ου βαθμού κατέληγαν σε αδιέξοδο.

Το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας εγγυάται την ύπαρξη λύσεων σε αυτές τις εξισώσεις. Πως όμως θα καταφέρναμε να τις υπολογίσουμε;

Εδώ μπαίνουν στη σκηνή δύο μαθηματικές ιδιοφυϊες που είχαν και οι δύο τραγική κατάληξη.


Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ (1802-1829) γεννήθηκε σε ένα μικρό χωριό στη Νορβηγία, μία χώρα κατεστραμμένη μετά από χρόνια πολέμοι με την Αγγλία και τη Σουηδία. Γόνος πολυμελούς φτωχής οικογένειας Ένας διορατικός δάσκαλος τον βοήθησε να τελειώσει το σχολείο αλλά, σε ηλικία 18 ετών χάνει τον πατέρα του και αναλαμβάνει όλα τα βάρη της οικογένειας. Το 1824 δημοσίευσε μία εργασία στην οποία κατέληγε ότι η πεμπτοβάθμια εξίσωση δε μπορούσε να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους και το ίδιο συνέβαινε με όλα τα πολυώνυμα ανώτερου βαθμού. Ο Άμπελ πίστευε ότι αυτή του η ανακάλυψη θα ήταν το εισιτήριό του για την ακαδημαϊκή καριέρα που ονειρευόταν, οπότε έστειλε την εργασία του στο Γκάους στο πανεπιστήμιο του Γκαίτινγκεν. Δυστυχώς φαίνεται ότι ο Γκάους δε βρήκε χρόνο να κόψει τις σελίδες του φυλλαδίου (εκείνη την εποχή αυτό το έκανε ο αναγνώστης και όχι ο τυπογράφος) και έτσι δεν το διάβασε ποτέ.

Το 1826 η νορβηγική κυβέρνηση έδωσε τελικά στον Άμπελ τη δυνατότητα να ταξιδέψει στην Ευρώπη. Φοβούμενος ότι δε θα κέρδιζε τίποτα επισκεπτόμενος προσωπικά το Γκάους, απέφυγε το Γκαίτινγκεν και πήγε στο Βερολίνο. Εκεί έπιασε φιλίες με τον Αουγκούστ Λέοπολντ Κρέλλε (1780-1855), μηχανικό και μαθηματικό σύμβουλο του Πρωσικού Υπουργείου Παιδείας, ο οποίος ετοιμαζόταν να εκδώσει το Journal Fuer die Reine & Angewandte Mathematik (περιοδικό για τα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά). Ο Άμπελ είχε τώρα ένα τρόπο να κάνει τις εργασίες του ευρύτερα γνωστές, δεδομένου μάλιστα ότι συμμετείχε ενεργά στους πρώτους τόμους του περιοδικού, το οποίο πολύ γρήγορα μάλιστα κατέφερε να καθιερωθεί στους επιστημονικούς κύκλους. Μέσα σε αυτά που δημοσίευσε ήταν και μία αναλυτικη εκδοχή της απόδειξης ότι η εξίσωση 5ου βαθμού δεν είναι επιλύσιμη. Μετά έφυγε για το Παρίσι, όπου βρέθηκε σε απόγνωση γιατί δεν υποστηρίχθηκε όσο περίμενε από τους Γάλλους μαθηματικούς. Πλησίασε τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (1789-1857) που τότε ήταν πρώτο όνομα στη μαθηματική ανάλυση αλλά και εξαιρετικά δύσκολος χαρακτήρας. Σύμφωνα με τον ίδιο τον Άμπελ, "Ο Κωσύ είναι τρελός και κανείς δε μπορεί να κάνει τίποτα γι αυτό, δυστυχώς όμως είναι ο μόνος που ξέρει πως πρέπει να αντιμετωπίζει κανείς τα μαθηματικά". Αν παραβλέψουμε τις ταπεινώσεις που υπέφερε ο Άμπελ στα χέρια του Γκάους και του Κωσύ, μπορούμε να πούμε πως η απόδειξή του για την πεμπτοβάθμια εξίσωση έγινε ευρύτερα γνωστή και τράβηξε την προσοχή μεγάλων μαθηματικών αλλά και πολλών τρελών. Ο Άμπελ γύρισε στη Νορβηγία με την υγεία του σοβαρά κλονισμένη από τη φυματίωση. Συνέχισε να στέλνει υλικά στον Κρέλλε, αλλά πέθανε το 1829, χωρίς να αντιληφθεί ποτέ ότι είχε ήδη γίνει διάσημος. Δύο μέρες μετά το θάνατό του έφτασε στο σπίτι του μία προσφορά για καθηγητική θέση στο Βερολίνο.

...συνεχίζεται...

16 σχόλια:

IonnKorr είπε...

Δεν ξέρω σε πόσους άρεσε αυτή η πολύ όμορφη ανάρτηση.

Συνήθως οι περισσότεροι θέλουν να ξέρουν τα πάντα για ηθοποιούς, τραγουδιστές, ποδοσφαιριστές, δημοσιογράφους, πολιτικούς δηλ. για όλους τους "δήθεν" και ουσιαστικά εντελώς ασήμαντους ανθρώπους και ποτέ κάτι για μαθηματικούς ή άλλους επιστήμονες.

Στην ανάρτηση φαίνεται καθαρά ότι ακόμα και στην Επιστήμη συμβαίνει το αυτονόητο που ισχύει παντού.
Δηλαδή, αν δεν έχεις "πλάτες" και "γνωριμίες" ποτέ κανείς δεν θα ασχοληθεί με ότι κάνεις ακόμη και αν έχεις ανακαλύψει την Ανθρώπινη Αθανασία !!!!!!!!!!!!!!!!!!

CsLaKoNaS είπε...

Πρόεδρε,

Έτσι όπως τα λες είναι. Παντού και πάντα...

Η συνέχεια της ιστορίας είναι ακόμα συγκλονιστικότερη. Αναφέρεται στο έργο του Γκαλούα η ζωή του οποίου είναι εξίσου σύντομη και, τραγικά, συναρπαστική!

Michalis Melidonis είπε...

1. Πάλι Βόρειους Λαούς βλέπω
να διαπρέπουν στα μαθηματικά

2. Η πρώτη γυναίκα που θα
κάνει σχόλιο εν τη ουσία
του κειμένου᾿..

μπορεί να μας ζητήσει
ελεύθερα
να της ικανοποιήσουμε
οποιαδήποτε εγκεφαλική
επιθυμία...

Michalis Melidonis είπε...

@Δάσκαλε
λες αμέσως η "πέμπτου βαθμού εξίσωση"
και ο μαθητής ρωτά "πόσες βαθμίδες
παίζουν στις εξισώσεις";;

εγώ μέχρι την τρίτη ήξερα
στο λυκειο

Michalis Melidonis είπε...

1.θέλω να πω..ενδέχεται στο μέλλον
να παιχτεί τπτ και με εξαβάθμια;;

2.Η αγαπημένη μου τριτοβάθμια
μια τη λεν cubic function
μια equation...αλληλοτέμνονται
οι ορισμοί Συνάρτησης + Εξίσωσης;;

IonnKorr είπε...

χα..χα..

Βρε Μελιδόνη σού έχει κολλήσει να σχολιάσουν γυναίκες.

Αφού στις γυναίκες δεν αρέσουν τα Μαθηματικά. Τι να σχολιάσουν??

Αν ο Λάκωνας είχε τέτοιο σκοπό θα έβαζε χαζο-αναρτήσεις όπως κάνω εγώ. Αλλά θέλει σοβαρά θέματα.

Για να βάλει ανάρτηση για την Μενεγάκη ή την Σκορδά ... και να δεις πόσες γυναίκες θα πλακώσουν να αφήσουν σχόλια!!!

Michalis Melidonis είπε...

@Ion

θυμάμαι στα ζάρια του Einstein,
http://cslakonas.blogspot.com/2010/08/blog-post.html
αυτόν το ρόλο τον πειραχτικό
τον έπαιζες εσύ,
και είπες και για της Κάρυς
το κέικ (αυτή πάει διακοπές
έμαθε, οπότε δεν)

Ναι αλλά τότε απάντησε
η Φυσικένια..
την προσκαλώ ξανά..
έτσι για ένα Γειά :-)

CsLaKoNaS είπε...

@Melidonis

Όσες βαθμίδες θέλεις. Η ν-οστού βαθμού χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη του όρου x στη ν-οστή δύναμη. Αν πρόσεξες π.χ. η πέμπτου βαθμού έχει τον όρο x εις την πέμπτη δύναμη.

Η θεωρία του Γκαλουά δίνει απάντηση στην ερώτηση εύρεσης λύσεων των ν-οστού βαθμού εξισώσεων. Νομίζω ότι το θέμα ερευνητικά έχει κλείσει.

Η εξίσωση είναι κατ' αρχήν μία έκφραση ίση με μία άλλη έκφραση. Η συνάρτηση παίρνει εκφράσεις και τις απεικονίζει σε άλλες εκφράσεις. Όταν ζητήσεις από μία συνάρτηση να απεικονίσει μία έκφραση πάνω σε μία άλλη συγκεκριμένη τότε η συνάρηση γίνεται εξίσωση.

π.χ. η τριτοβάθμια συνάρτηση γίνεται μία τριτοβάθμια εξίσωση όταν της ζητήσεις να γίνει ίση με το μηδέν.

IonnKorr είπε...

Τέλεια η εξήγηση.
Να το πω με μαθηματικό τρόπο.

f(x) = 2x + 1
είναι συνάρτηση

αλλά

0 = 2x + 1
είναι εξίσωση

Δηλαδή αν δώσουμε στο f(x) μία συγκεκριμένη τιμή όπως 0, 5, 1/2, 3,55555... τότε έχουμε εξίσωση.

Αν το αφήσουμε "αόριστο" (δηλαδή να εξαρτάται από μία μεταβλητή (x)) τότε έχουμε συνάρτηση.

Η κομβική διαφορά βρίσκεται ακριβώς στην εξάρτηση ή μη εξάρτηση από μια μεταβλητή (π.χ. στην Φυσική η μεταβλητή μπορεί να είναι ο χρόνος ή η απόσταση)

IonnKorr είπε...

Διαβάζοντας την απάντησή μου δεν μπόρεσα και να μην δω για μία ακόμη φορά την διαφορά του μαθηματικού και του φυσικού.

π.χ. ο μαθηματικός βλέπει π.χ. συναρτήσεις f(x) και μεταβλητές x
Δεν τις "συγκεκριμενοποιεί".

Ενώ ο φυσικός νευριάζει όταν βλέπει σκέτες αφηρημένες μεταβλητές. Θέλει να αντιπροσωπεύουν κάτι χειροπιαστό δηλ. φυσικά μεγέθη, όπως: "διαστάσεις" (δηλ. Αποστάσεις (x,y,z), ή Χρόνο (t))

Επίσης δεν μπορεί να μελετά αφηρημένες συναρτήσεις.
Θέλει να βλέπει πάλι φυσικά μεγέθη, όπως: Ταχύτητα (υ) και Δύναμη (F)

Ο μαθηματικός όμως δεν θέλει τέτοιες "συγκεκριμενοποιήσεις" γιατί ξέρει ότι "η φυσικοποίηση" των μαθηματικών εργαλείων εισάγει πολλούς περιορισμούς και πολυποίκιλες συνθήκες στην μελέτη τους και επομένως καθιστά την μελέτη πολυπλοκότερη.

Δηλαδή εδώ ισχύει κάτι ανάλογο με την αρχή του Heisenberg:

"Ότι κερδίζεις σε πολυπλοκότητα το χάνεις σε ακρίβεια"

Ο φυσικός ενδιαφέρεται περισσότερο για την πολυπλοκότητα (εφόσον η Φύση, δηλ. το αντικείμενο μελέτης του, είναι πολύπλοκη) και "κάνει τα στραβά μάτια" στην ακρίβεια των διατυπώσεων.

Ο μαθηματικός ενδιαφέρεται πρώτιστα για την ακρίβεια και και αδιαφορεί για την πολυπλοκότητα και επομένως την εφαρμογή στην Φυσική και τις άλλες Επιστήμες.

Michalis Melidonis είπε...

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Ιδιαίτερα τον Ίωνα.

Φαντάζομαι ένας Εμπειριστής
αγαπά τις Φυσικο-Χημείες :-)
και βαριέται τις Θεωρίες
του Ρασιοναλισμοὐ, που
ο Λάκων μας λέει
πως κάτι αξίζουν κι
αυτές. :-)

Michalis Melidonis είπε...

Και στην ουσία
ποιά είναι η πρακτική εφαρμογή
της πενταβάθμιας εξίσωσης?

απλώς εγκεφαλικές ασκήσεις
επί χάρτου? :-)

Δήμητρα♥♥♥quarks είπε...

Γκουχ γκουχ... κάτι ψιθύρους άκουσα... μπα ιδέα μου θα'ταν!!
Μιχάλη μαζί σου εγώ να το ξέρεις. Επανέρχομαι εντός ολίγου να σχολιάσω επί της ουσίας της ανάρτησης!!

(όχι που θα μου γλιτώνατε!! χα χα)

Δήμητρα♥♥♥quarks είπε...

Λοιπόν η ουσία της παρούσας ανάρτησης δεν είναι τα μαθηματικά αυτά καθαυτά...

αλλά ο χαοτικός τρόπος με τον οποίο ο κόσμος προχωράει μπροστά επικουρούμενος από μία λανθάνουσα συμφεροντολογική αιτιοκρατία!!

Και παραφράζοντας γνωστό ρητό που ταιριάζει με το.. σκεπτικό διαφόρων...

"Αξιοκρατίας σβησθείσης πάσα σπουδή ομοία..!!!"

Και φυσικά...

...εγκεφαλική επιθυμία:

"Θέλω περισσότερες τέτοιες αναρτήσεις!!!"

Το καλή σαρακοστή ταιριάζει εδώ?? Λάκωνα βλέπω η διατροφή πάει καλά. Καλή συνέχεια!!

:)))))

iamaticus είπε...

@@...ΛΑΚΩΝΑ ΧΑΙΡΕ!!!...

Α)...ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ:...ΔΕΝ ΚΑΤΕΧΩ ΤΟ ΚΑΤΙ ΤΙΣ ΜΟΥ ΝΑ ΠΩ....μου ΑΡΕΣΕ Ο ΙΟΝΝΚΟΡΡ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΦΟΡΙΣΜΟΥΣ ΤΟΥ!!!
(περι περιπλοκοτητας-αλλωστε αυτα καταλαβα!!!χαχααααα!!!)

Β)...ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΚΡΑΤΙΑ:...
Στην ιατρικη που τη ζω...ΙΣΧΥΕΙ!!!
ΟΧΙ ΣΤΟΥΣ ΤΙΤΛΟΥΣ ΒΕΒΑΙΑ...
ΑΛΛΑ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ!!!...
Ειναι συνιθισμενο..."ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ"να παραμεριζονται ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΗ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ!!!...ΓΙΑ "ΚΟΙΝΟΥΣ" ΚΑΛΟΥΣ ΟΜΩΣ ΓΙΑΤΡΟΥΣ!!!...

Γ)...ΜΙΑ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ:...
Αν θες ΛΑΚΩΝΑ εκατσα και εγραψα ΜΕ ΑΦΘΟΝΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (και ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ)...

ΜΙΑ "ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ-ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ"ΠΡΑΓΜΑΤΕΙΑ...

"ΓΙΑ ΤΗ ΤΖΑΖ"!!!!(με κορυφωση ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΤΟ ΜΠΟΛΕΡΟ)...

ΠΩΣ ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ ΜΠΟΛΕΡΟ (ΦΟΞΤΡΟΤ-ΣΑΜΠΑ-ΡΟΥΜΠΑ-SAΛΣΑ ΚΛΠ)...
ΠΡΟΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ :
ΤΣΙΦΤΕΤΕΛΙ,ΦΛΑΜΕΝΚΟ,ΑΦΡΙΚΑΝΙΚΑ ΤΑΜ-ΤΑΜ....ΚΟΥΒΑΝΕΖΙΚΑ...ΝΕΟ-ΟΡΛΕΑΝΙΚΑ...ΒΕΡΟΛΙΝΕΖΙΚΑ ΚΑΜΠΑΡΕ..και εννοειται...ΜΕΧΡΙ ΡΑΠ!!!..
ΤΗΝ ΑΝΑΡΤΗΣΗ ΛΑΚΩΝΑ ΣΤΗΝ ΑΦΙΕΡΩΣΑ (διαβασε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ αναρτηση+σχολια)...

αυτα γιατι καποτε μου ειχες πει οτι θες να μελετησεις ΤΖΑΖ...

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Michalis Melidonis είπε...

περίμενα πως παρασκεβιάτικο
θα χαμε νέο ποστ...
όχι τπτ άλλο...
για να συνεχίσω το
dialog με τη Φυσικένια...

οπότε περιμένω το βήτα μερος
της λακωνικής αν-ορθόδοξης
ασκησης :)