105.6

Σήμερον στο μπλογκοσφαιρικό μας μπερντέ.

Η τραγική ιστορία της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης.
(Μέρος Α')

Η πέμπτου βαθμού εξίσωση, ως προς x, δίνεται από το γενικό τύπο

όπου τα a,b,c,d,e,f είναι γνωστοί αριθμοί (ο a διαφορετικός του μηδέν).

Ποιοι αριθμοί (x) ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση;

Ένα από τα πιο ακανθώδη αλγεβρικά προβλήματα της εποχής στα τέλη του 18ου αρχές του 19ου αι. ηταν το κατά πόσο το 5ο-βάθμιο πολυώνυμο ήταν επιλύσιμο με αλγεβρικές μεθόδους- δηλαδή έναν πεπερερασμένο αριθμό αλγεβρικών πράξεων. Στο σχολείο μαθαίνουμε σήμερα τον τύπο επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων και ήδη από τον 16ο αι. υπάρχουν παρόμοιες μέθοδοι για εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού. Ωστόσο όλες οι προσπάθειες να βρεθεί μία ανάλογη μέθοδος για την εξίσωση 5ου βαθμού κατέληγαν σε αδιέξοδο.

Το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας εγγυάται την ύπαρξη λύσεων σε αυτές τις εξισώσεις. Πως όμως θα καταφέρναμε να τις υπολογίσουμε;

Εδώ μπαίνουν στη σκηνή δύο μαθηματικές ιδιοφυϊες που είχαν και οι δύο τραγική κατάληξη.


Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ (1802-1829) γεννήθηκε σε ένα μικρό χωριό στη Νορβηγία, μία χώρα κατεστραμμένη μετά από χρόνια πολέμοι με την Αγγλία και τη Σουηδία. Γόνος πολυμελούς φτωχής οικογένειας Ένας διορατικός δάσκαλος τον βοήθησε να τελειώσει το σχολείο αλλά, σε ηλικία 18 ετών χάνει τον πατέρα του και αναλαμβάνει όλα τα βάρη της οικογένειας. Το 1824 δημοσίευσε μία εργασία στην οποία κατέληγε ότι η πεμπτοβάθμια εξίσωση δε μπορούσε να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους και το ίδιο συνέβαινε με όλα τα πολυώνυμα ανώτερου βαθμού. Ο Άμπελ πίστευε ότι αυτή του η ανακάλυψη θα ήταν το εισιτήριό του για την ακαδημαϊκή καριέρα που ονειρευόταν, οπότε έστειλε την εργασία του στο Γκάους στο πανεπιστήμιο του Γκαίτινγκεν. Δυστυχώς φαίνεται ότι ο Γκάους δε βρήκε χρόνο να κόψει τις σελίδες του φυλλαδίου (εκείνη την εποχή αυτό το έκανε ο αναγνώστης και όχι ο τυπογράφος) και έτσι δεν το διάβασε ποτέ.

Το 1826 η νορβηγική κυβέρνηση έδωσε τελικά στον Άμπελ τη δυνατότητα να ταξιδέψει στην Ευρώπη. Φοβούμενος ότι δε θα κέρδιζε τίποτα επισκεπτόμενος προσωπικά το Γκάους, απέφυγε το Γκαίτινγκεν και πήγε στο Βερολίνο. Εκεί έπιασε φιλίες με τον Αουγκούστ Λέοπολντ Κρέλλε (1780-1855), μηχανικό και μαθηματικό σύμβουλο του Πρωσικού Υπουργείου Παιδείας, ο οποίος ετοιμαζόταν να εκδώσει το Journal Fuer die Reine & Angewandte Mathematik (περιοδικό για τα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά). Ο Άμπελ είχε τώρα ένα τρόπο να κάνει τις εργασίες του ευρύτερα γνωστές, δεδομένου μάλιστα ότι συμμετείχε ενεργά στους πρώτους τόμους του περιοδικού, το οποίο πολύ γρήγορα μάλιστα κατέφερε να καθιερωθεί στους επιστημονικούς κύκλους. Μέσα σε αυτά που δημοσίευσε ήταν και μία αναλυτικη εκδοχή της απόδειξης ότι η εξίσωση 5ου βαθμού δεν είναι επιλύσιμη. Μετά έφυγε για το Παρίσι, όπου βρέθηκε σε απόγνωση γιατί δεν υποστηρίχθηκε όσο περίμενε από τους Γάλλους μαθηματικούς. Πλησίασε τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (1789-1857) που τότε ήταν πρώτο όνομα στη μαθηματική ανάλυση αλλά και εξαιρετικά δύσκολος χαρακτήρας. Σύμφωνα με τον ίδιο τον Άμπελ, "Ο Κωσύ είναι τρελός και κανείς δε μπορεί να κάνει τίποτα γι αυτό, δυστυχώς όμως είναι ο μόνος που ξέρει πως πρέπει να αντιμετωπίζει κανείς τα μαθηματικά". Αν παραβλέψουμε τις ταπεινώσεις που υπέφερε ο Άμπελ στα χέρια του Γκάους και του Κωσύ, μπορούμε να πούμε πως η απόδειξή του για την πεμπτοβάθμια εξίσωση έγινε ευρύτερα γνωστή και τράβηξε την προσοχή μεγάλων μαθηματικών αλλά και πολλών τρελών. Ο Άμπελ γύρισε στη Νορβηγία με την υγεία του σοβαρά κλονισμένη από τη φυματίωση. Συνέχισε να στέλνει υλικά στον Κρέλλε, αλλά πέθανε το 1829, χωρίς να αντιληφθεί ποτέ ότι είχε ήδη γίνει διάσημος. Δύο μέρες μετά το θάνατό του έφτασε στο σπίτι του μία προσφορά για καθηγητική θέση στο Βερολίνο.

...συνεχίζεται...